平面向量的点乘＝lallbⅠcosθ。丨a｜是向量a的模，｜b｜是向量b的模，θ是向量a与向量b的夹角。平面向量的点积也叫数量积，它是一个标量。例如：向量a的模等于2，向量b的模等于5，a与b的夹角是π／3，求ab。解由ab＝laⅠⅠbIcosθ，得ab＝2X5Ⅹcosπ／3＝10X0.5＝5。
向量a和向量b的叉积，仍是向量。其模是absin∝（其中∝是两向量的夹角），其方向由右手定则确定。叉积不满 *** 换律。向量a和向量b的点积，是数值，等于abcos∝。点积满 *** 换律ab的点积＝ba的点积。
向量的点乘公式为：A·B=|A||B|cosθ，其中A·B表示向量A和向量B的点乘，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
向量的叉乘公式为：A×B=|A||B|sinθn，其中A×B表示向量A和向量B的叉乘，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A和向量B之间的夹角，n表示垂直于向量A和向量B所在平面的单位法向量。
向量叉乘是外积，其结果还是向量。
向量点乘是内积，其结果是数量。
向量外积的公式：|a×b|=|a|·|b|·sinα。把向量外积定义为：|a×b|=|a|·|b|·sinα.方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心由a转向b的过程中，大拇指的方向就是外积的方向。
向量的点乘（内积）和叉乘（外积）是两种不同的向量运算，具有不同的性质和应用。
**点乘（内积）性质：**
1.**交换律：**向量的点乘是可交换的，即\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}\)。
2.**分配律：**对于向量的点乘，分配律成立，即\(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\)。
3.**与数量乘法结合律：**\(k(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=k\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{A}\cdot(k\mathbf{B})\)。
4.**与零向量：**向量的点乘与零向量的结果为0，即\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{0}=0\)。
5.**与同向向量：**向量的点乘与同向向量的结果为正值，即\(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}>0\)，当且仅当向量\(\mathbf{A}\)和\(\mathbf{B}\)在同一方向上。
**叉乘（外积）性质：**
1.**交叉律：**向量的叉乘不满 *** 换律，即\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\neq\mathbf{B}\times\mathbf{A}\)。
2.**分配律：**对于向量的叉乘，分配律同样成立，即\(\mathbf{A}\times(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\times\mathbf{B}+\mathbf{A}\times\mathbf{C}\)。
3.**与数量乘法结合律：**\(k(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=k\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{A}\times(k\mathbf{B})\)。
4.**与零向量：**向量的叉乘与零向量的结果为零向量，即\(\mathbf{A}\times\mathbf{0}=\mathbf{0}\)。
5.**与同向向量：**向量的叉乘与同向向量的结果为零向量，即\(\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}\)，当且仅当向量\(\mathbf{A}\)和\(\mathbf{B}\)平行或其中一个为零向量。
这些是向量点乘和叉乘的一些基本性质，但不是所有性质都在所有情况下成立。在特定应用中，这些性质可能会有所不同，因此在使用向量运算时要注意上下文和条件。
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